Question

已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是.
（I）求函數(shù)的解析式；
（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值.

Answer 1

（I）；（II）時(shí)，函數(shù)有極值；
當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值.

解析試題分析：（I）涉及切線，便要求出切點(diǎn).本題中切點(diǎn)如何求？函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是.說明切點(diǎn)就是直線與軸交點(diǎn)，所以令便得切點(diǎn)為(2,0).切點(diǎn)既在切線上又曲線，所以有, 即.
函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率，所以由已知有即.這樣便得一個(gè)方程組，解這個(gè)方程組求出 便的解析式.
（II）將求導(dǎo)得，，
令.這是一個(gè)二次方程，要使得函數(shù)有極值，則方程要有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，由此可得的范圍.解方程有便得取得極值時(shí)的值.
試題解析：（ I）由已知,切點(diǎn)為(2,0), 故有, 即
又，由已知得
聯(lián)立①②，解得.所以函數(shù)的解析式為  
（II）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9c/f/138k34.png" style="vertical-align:middle;" />
令
當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則，方程有實(shí)數(shù)解，                                           由，得.
①當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值
②當(dāng)m<1時(shí),g'(x)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁= (2－), x₂= (2+), g(x),g'(x) 的情況如下表：

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