Question

（本小題滿分12分）
函數.
(Ⅰ) 判斷函數的奇偶性，并求其最大值；
(Ⅱ) 求證：；
(Ⅲ) 求證：的圖象與軸所圍成的圖形的面積不小于.

Answer 1

(Ⅰ)偶函數，最大值
(Ⅱ)證明見解析
(Ⅲ)證明見解析

解析（Ⅰ）定義域為,
,則為偶函數，
,則,
所以函數在上單調遞增,在上單調遞減,
則最大值;------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）要證明,
只需證,
設,
則
令，則
所以，在上為單調遞減函數，
因此，
所以當時,,又因為,則為偶函數,
所以,則原結論成立；----------------------------------------8分
(Ⅲ)由標準正態分布與軸圍成的面積為,
則由(Ⅱ)得，
則,
所以的圖象與軸所圍成的圖形的面積不小于.------------------12分