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設f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,不等式f(x)>0的解集是(-3,2).
(1)求f(x);
(2)當函數(shù)f(x)的定義域是[0,1]時,求函數(shù)f(x)的值域.
分析:(1)由不等式f(x)>0的解集是(-3,2),結合函數(shù)零點、方程的根與不等式解集的端點之間的關系,我們易得到-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的兩個根,根據(jù)韋達定理我們易構造出關于a,b的方程,求出a,b值后易得函數(shù)的解析式.
(2)根據(jù)(1)的結論,結合二次函數(shù)的性質(zhì),我們易判斷函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最值,由于函數(shù)是連續(xù)函數(shù),故可得函數(shù)f(x)的值域.
解答:解:(1)∵f(x)>0的解集是(-3,2),
∴-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的兩個根,
∴-3+2=-1=
8-b
a
,即b-8=a①
-3×2=-6=
-a-ab
a
,即1+b=6②
解得a=-3,b=5
∴f(x)=-3x2-3x+18
(2)∵函數(shù)f(x)=-3x2-3x+18的圖象是以x=-
1
2
為對稱軸,開口方向朝下的拋物線
故函數(shù)f(x)=-3x2-3x+18在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減
∴當x=0時,y有最大值18,
當x=1時,y有最小值12,
∴當x∈[0,1]時函數(shù)f(x)的值域[12,18]
點評:本題考查的知識點是函數(shù)零點與方程的根及不等式解集的端點之間的關系,函數(shù)的值域,其中根據(jù)函數(shù)零點與方程的根及不等式解集的端點之間的關系,由不等式f(x)>0的解集是(-3,2),構造關于a,b的方程,進而求出函數(shù)的解析式是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
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對于函數(shù)f(x),其定義域為D,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],則稱f(x)為定義域上的凸函數(shù).
(1)設f(x)=ax2(a>0),試判斷f(x)是否為其定義域上的凸函數(shù),并說明原因;
(2)若函數(shù)f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)為其定義域上的凸函數(shù),試求出實數(shù)a的取值范圍.

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設f(x)=ax2+x-a,g(x)=2ax+5-3a
(1)若f(x)在x∈[0,1]上的最大值是
54
,求a的值;
(2)若對于任意x1∈[0,1],總存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范圍;
(3)若f(x)=g(x)在x∈[0,1]上有解,求a的取值范圍.

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對于給定正數(shù)k,定fk(x)=
f(x)   (f(x)≤k)
k    (f(x)>k)
,設f(x)=ax2-2ax-a2+5a+2,對任意x∈R和任意a∈(-∞,0)恒有fk(x)=
f(x)
,則(  )

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(2013•閔行區(qū)二模)設f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,則f(2)的最大值為
14
14

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