Question

A、B是函數f(x)＝＋的圖象上的任意兩點，且＝(＋)，已知點M的橫坐標為．

(Ⅰ)求證：M點的縱坐標為定值；

(Ⅱ)若S_n＝f()＋f()＋…＋f()，n∈N₊且n≥2，求S_n；

(Ⅲ)已知數列{a_n}的通項公式為a_n＝．T_n為其前n項的和，若T_n＜λ(S_n+1＋1)，對一切正整數都成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(，y_m)，由得

　　即x₁＋x₂＝1．

　　

　　

　　

　　即M點的縱坐標為．4分

　　(Ⅱ)當n≥2時，∈(0，1)，又＝…＝x₁＋x₂，

　　∴＝…＝f(x₁)＋f(x₂)＝y₁＋y₂＝1．

　　…，又…，

　　∴2S_n＝n－1，則(n≥2，n∈N₊)．10分

　　(Ⅲ)由已知T₁＝a₁＝，n≥2時，，

　　∴T_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝…＝．

　　當n∈N₊時，T_n＜(S_n+1＋1)，即＞，n∈N₊恒成立，則＞．

　　而(n＝2時“＝”成立)，

　　∴，∴實數的取值范圍為(，＋∞)．16分