Question

A、B是函數(shù)f(x)=+的圖象上的任意兩點(diǎn)，且=()，已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.

    (Ⅰ)求證：M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；

    (Ⅱ)若Sn=f()+f()+…+f()，n∈N+且n≥2，求Sn；

    (Ⅲ)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為. Tn為其前n項(xiàng)的和，若Tn<(Sn+1+1)，對一切正整數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

 (Ⅰ)證明：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(,ym)，由得

即x1+x2=1.

            

             

            

即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為. …………………………………………………4分

(Ⅱ)當(dāng)n≥2時(shí)，∈(0,1)，又=…=x1+x2，

   ∴=…=f(x1)+f(x2)=y1+y2=1.

   …，又…，

∴2Sn=n-1，則(n≥2，n∈N+). ……………………………10分

(Ⅲ)由已知T1=a1=，n≥2時(shí)，，

∴Tn=a1+a2+…+an=…=.

當(dāng)n∈N+時(shí)，Tn<(Sn+1+1)，即>，n∈N+恒成立，則>.

而(n=2時(shí)“＝”成立)，

∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為(,+∞). ……………………16分