Question

【題目】十九大提出：堅決打贏脫貧攻堅戰，做到精準扶貧.某縣積極引導農民種植一種名貴中藥材，從而大大提升了該縣村民的經濟收入.2019年年底，該機構從該縣種植的這種名貴藥材的農戶中隨機抽取了100戶，統計了他們2019年因種植，中藥材所獲純利潤(單位：萬元)的情況(假定農戶因種植中藥材這一項一年最多獲利11萬元)，統計結果如下表所示：

（1）由表可以認為，該縣農戶種植中藥材所獲純利潤Z(單位：萬元)近似地服從正態分布，其中近似為樣本平均數(每組數據取區間的中點值)，近似為樣本方差.若該縣有1萬戶農戶種植了該中藥材，試估算所獲純利潤Z在區間(1.9，8.2)的戶數；

（2）為答謝廣大農戶的積極參與，該調查機構針對參與調查的農戶舉行了抽獎活動，抽獎規則如下：在一箱子中放置5個除顏色外完全相同的小球，其中紅球1個，黑球4個.讓農戶從箱子中隨機取出一個小球，若取到紅球，則抽獎結束；若取到黑球，則將黑球放回箱中，讓他繼續取球，直到取到紅球為止(取球次數不超過10次).若農戶取到紅球，則視為中獎，獲得2000元的獎勵，若一直未取到紅球，則視為不中獎.現農戶張明參加了抽獎活動，記他中獎時取球的次數為隨機變量X，他取球的次數為隨機變量Y.

①證明：為等比數列；

②求Y的數學期望.(精確到0.001)

參考數據：.若隨機變量則.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②..

【解析】

(1)根據題意求出樣本平均數即可得出即,則可根據,求出其所獲純利潤Z在區間(1.9，8.2)的戶數；

(2) ①因為每次取球都恰有的概率取到紅球,即，則可證明之.

②根據①所求的,根據當時,,代入,再利用錯位相減求出其值即可.

（1）由題意知：

所以樣本平均數為（萬元），

所以，

所以，

而.

故1萬戶農戶中，Z落在區間的戶數約為.

（2）①每次取球都恰有的概率取到紅球.

則有，

，

故為以為首項為公比的等比數列.

②由①可知，當時,,

.

故Y的數學期望為

設，

則，

兩式作差得,

.