Question

已知函數，。
（1）求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）求證：當x>1時，f（x）>g（x）；
（3）如果x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求證：f（x₁）>f（2-x₂）。

Answer 1

解：（1）∵
∴f'（x）=
令f'（x）=0，解得x=1

∴f（x）在（-∞，1）內是增函數，在（1，+∞）內是減函數
∴當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=。
（2）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=，
則 F'（x）=
當x>1時，1-x＜0，2x>2
從而e²-e^2x＜0，
∴F'（x）>0，F（x）在（1，+∞）是增函數
∴F（x）>F（1）=，
故當x>1時，f（x）>g（x）。
（3）∵f（x）在（-∞，1）內是增函數，在（1，+∞）內是減函數，
∴當x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）時，x₁，x₂不可能在同一單調區間內
不妨設x₁＜1＜x₂，
由（2）的結論知x>1時，F（x）= f（x）-g（x）>0，
∴f（x₂）>g（x₂）
∵f（x₁）=f（x₂），
∴f（x₁）>g（x₂）
又g（x₂）= f（2-x₂），
∴f（x₁）>f（2-x₂）。