Question

已知直線l過點P（3，1）且被兩平行線l₁:x+y+1=0,l₂:x+y+6=0截得的線段長為5，求直線l的方程.

Answer 1

直線l的方程為x=3或y=1.

方法一 若直線l的斜率不存在，
則直線l的方程為x=3,此時與l₁,l₂的交點分別是
A（3，-4），B（3，-9），
截得的線段長|AB|=|-4+9|=5,符合題意.                                       4分
若直線l的斜率存在時，
則設直線l的方程為y=k(x-3)+1,
分別與直線l₁,l₂的方程聯立，
由,
解得A.                                                        8分
由,解得B,
由兩點間的距離公式，得
+=25，
解得k=0,即所求直線方程為y="1.                                        "     10分
綜上可知，直線l的方程為x=3或y="1.                                   "     12分
方法二 設直線l與l₁,l₂分別相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
則x₁+y₁+1=0,x₂+y₂+6=0,
兩式相減，得(x₁-x₂)+(y₁-y₂)="5                  " ①                          6分
又(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²="25                          " ②
聯立①②可得或,                                           10分
由上可知，直線l的傾斜角分別為0°和90°，
故所求的直線方程為x=3或y="1.                                         "     12分