Question

已知函數f(x)=

-x3+x2+bx+c(x＜1) alnx(x≥1)

的圖象過點（-1，2），且在點（-1，f（-1））處的切線與直線x-5y+1=0垂直．
（Ⅰ）求實數b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-1，e]（e為自然對數的底數）上的最大值．

Answer 1

分析：（I）求出x＜1時的導函數，令f（-1）=2，f′（x）=-5，解方程組，求出b，c的值．
（II）分段求函數的最大值，利用導數先求出-1≤x＜1時的最大值；再通過對a的討論，判斷出1≤x≤e時函數的單調性，求出最大值，再從兩段中的最大值選出最大值．

解答：解：（Ⅰ）當x＜1時，f′（x）=-3x2+2x+b，
由題意得：

f(-1)=2 f′(-1)=-5

即

2-b+c=2 -3-2+b=-5

，
解得：b=c=0．
（Ⅱ）因為f(x)=

-x3+x2(x≤1) alnx(x≥1)

當-1≤x＜1時，f′（x）=-x（3x-2），
解f′（x）＞0得0＜x＜

2

3

解f′（x）＜0得1≥x＞

2

3

或x＜0
∴f（x）在（-1，0）和（

2

3

，1）上單減，在（0，

2

3

）上單增，
從而f（x）在x=

2

3

處取得極大值f（

2

3

）=

4

27

又∵f（-1）=2，f（1）=0，
∴f（x）在[-1，1）上的最大值為2．
當1≤x≤e時，f（x）=alnx，
當a≤0時，f（x）≤0；
當a＞0時，f（x）在[1，e]單調遞增；
∴f（x）在[1，e]上的最大值為a．
∴a≥2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為a；
當a＜2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．

點評：曲線對應的函數在切點處的導數值為切線的斜率；求分段函數的性質時應該分段去求．