Question

對于非零的自然數n，拋物線y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1與x軸相交于A_n，B_n兩點，若以|A_nB_n|表示這兩點間的距離，則|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+┅+|A₂₀₀₉B₂₀₀₉|的值 等于

 

．

Answer 1

分析：根據函數拋物線方程令y=0求得x的關系式，代入兩點間的距離公式可得到|A_nB_n|的關系式，然后代入到|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₁₉₉₉B₁₉₉₉|中即可得到答案．

解答：解：令（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0，
得x1=

1

n

，x2=

1

n+1

所以A_n（

1

n

，0），B_n（

1

n+1

，0）
所以|A_nB_n|=

1

n

-

1

n+1

，
所以|A₁B₁|+|A₂B₂|+|A₃B₃|+┅+|A₂₀₀₉B₂₀₀₉|
=（

1

1

-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+┉+（

1

2009

-

1

2010

）
=1-

1

2010

=

2009

2010

．
故答案為：

2009

2010

．

點評：本題主要考查拋物線的應用、數列求和的累加法、數列與解析幾何的綜合．考查對基礎知識的靈活運用．