Question

若不等式|x-4|+|x-2|≥a對任意實數x均成立，則實數a的取值范圍為

（-∞，2]

．

Answer 1

分析：構造函數f（x）=|x-4|+|x-2|，利用絕對值的意義可求得f（x）_min，a小于等于其最小值，從而可得答案．

解答：解：∵不等式|x-4|+|x-2|≥a對任意實數x恒成立，
令f（x）=|x-4|+|x-2|，
則a≤f（x）_min．
由絕對值的幾何意義可得：f（x）=|x-4|+|x-2|≥|x-4-（x-2）|=2，
∴f（x）_min=2．
∴a≤2．
即實數a的取值范圍是（-∞，2]．
故答案為：（-∞，2]．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查絕對值的意義及構造函數的思想，考查恒成立問題，屬于中檔題．