Question

已知a＞0，若不等式|x-4|+|x+3|＜a在實數集R上的解集不是空集，則a的取值范圍是

a≥7

．

Answer 1

分析：法一：利用絕對值不等式的性質：|a|+|b|≥|a+b|（當且僅當a與b同號取等號），求出原不等式左邊的最小值，讓a大于等于求出的最小值，即可得到滿足題意的實數a的取值范圍．
法二：由絕對值的幾何意義知|x-4|+|x+3|表示實數軸上的點到-3和到4兩點的距離之和，故范圍可求出，由題意a大于|x-4|+|x+3|的最小值即可．

解答：解：法一：∵|x-4|+|x+3|≥|x-4-3-x|=7，
∴|x-4|+|x+3|的最小值為7，
又不等式|x-4|+|x+3|≤a的解集不是空集，
∴a≥7．
法二：由絕對值的幾何意義知|x-4|+|x+3|表示實數軸上的點到-3和到4兩點的距離之和，
故|x-4|+|x+3|≥7，
由題意，不等式|x-4|+|x+3|＜a在實數集上的解不為空集，
只要a＞（|x-4|+|x+3|）_min即可，
即a＞7，
故答案為a＞7．

點評：此題考查絕對值不等式的性質及其解法，這類題目是高考的熱點，難度不是很大，要注意不等號進行放縮的方向．