Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=．

（1）求直線D₁B與平面ABCD所成角的大小；

（2）求證：AC⊥平面BB₁D₁D．

 

Answer 1

【答案】

（1）45º；（2）利用線線垂直證明線面垂直

【解析】

試題分析：（1）因為D₁D⊥面ABCD，所以BD為直線B D₁在平面ABCD內的射影，

所以∠D₁BD為直線D₁B與平面ABCD所成的角，    2分

又因為AB=1，所以BD=，在Rt△D₁DB中，，

所以∠D₁BD=45º，所以直線D₁B與平面ABCD所成的角為45º；    4分

（2）明：因為D₁D⊥面ABCD，AC在平面ABCD內，所以D₁D⊥AC，

又底面ABCD為正方形，所以AC⊥BD， 6分

因為BD與D₁D是平面BB₁D₁D內的兩條相交直線，

所以AC⊥平面BB₁D₁D． 8分

考點：本題考查了空間中的線面關系

點評：此類問題常考查空間中平行關系與垂直關系的證明以及空間角、幾何體體積的計算，這是立體幾何的重點內容.證明的關鍵是熟練掌握并靈活運用相關的判定定理與性質定理