Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+1的導函數 為f′（x），f′（0）＞0，f（x）與x軸恰有一個交點，則

f(1)

f′(0)

的最小值為（　�。�

• A．2
• B．

  3

  2

• C．3
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：首先對f（x）求導，得出f′（x）=2ax+b，再利用f′（0）＞0，可得出b＞0；利用f（x）與x軸恰有一個交點，可得出△=0，得到a與b的關系式，即可用a表示b，從而得出

f(1)

f′(0)

的關于b表達式，再利用基本不等式即可求出其最小值．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx+1，∴f′（x）=2ax+b，∴f^′（0）=b，又f′（0）＞0，∴b＞0．
又已知f（x）與x軸恰有一個交點，∴△=b²-4a=0，∴a=

b2

4

，∴f（1）=a+b+1=

b2

4

+b+1．
∴

f(1)

f′(0)

=

b2 4 +b+1

b

=

b

4

+

1

b

+1≥2

b 4 × 1 b

+1=1+1=2．當且僅當

b

4

=

1

b

，即b=2時取等號，
∴

f(1)

f′(0)

的最小值為2．
故選A．

點評：本題綜合考查了二次函數、導數、基本不等式，熟練掌握它們的性質及使用方法是解決問題的關鍵．