Question

某連鎖分店銷售某種商品，每件商品的成本為4元，并且每件商品需向總店交a元（1≤a≤3）的管理費，預計當每件商品的售價為元（8≤x≤9）時，一年的銷售量為(10－x)²萬件．（1）求該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與每件商品的售價x的函數關系式L(x)（銷售一件商品獲得的利潤l＝x－(a+4)）；（2）當每件商品的售價為多少元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，并求出L的最大值M(a)．

Answer 1

(Ⅰ) L(x)= (x－4－a)(10－x)²，x∈[8,9] (Ⅱ)  最大值為16－4a萬元

解析:

（1）該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與售價x的函數關系式為

 L(x)= (x－4－a)(10－x)²，x∈[8,9]．       …4分

（2） =(10－x)(18+2a－3x)，   …6分

 令，得x =6+a或x=10（舍去）．   ∵1≤a≤3，∴≤6+a≤8．… 10分

  所以L(x)在x∈[8,9]上單調遞減，故L_max=L(8)=(8－4－a)(10－8)²=16－4a．

   即M(a) =16－4a．  …15分

答：當每件商品的售價為8元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，最大值為16－4a萬元．