Question

某連鎖分店銷售某種商品，每件商品的成本為4元，并且每件商品需向總店交a元（1≤a≤3）的管理費，預計當每件商品的售價為x元（8≤x≤9）時，一年的銷售量為（10-x）²萬件．
（1）求該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與每件商品的售價x的函數關系式L（x）；
（2）當每件商品的售價為多少元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，并求出L的最大值M（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一年的利潤=每件的利潤×銷售的件數可求出L（x）的解析式；
（2）令L′（x）=0得到函數的駐點，討論x的范圍求得韓函數的最大值即可；
解答：解：（1）該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與售價x的函數關系式為
L（x）=（x-4-a）（10-x）²，x∈[8，9]；
（2）L′（x）=（10-x）²-2（x-4-a）（10-x）=（10-x）（18+2a-3x），
令L′（x）=0，得x=6+a或x=10（舍去）．
∵1≤a≤3，∴≤6+a≤8．所以L（x）在x∈[8，9]上單調遞減，
故L_max=L（8）=（8-4-a）（10-8）²=16-4a．即M（a）=16-4a．
答：當每件商品的售價為8元時，該連鎖分店一年的利潤L最大，最大值為16-4a萬元．
點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，以及利用導數求閉區間上函數最值的能力．