Question

已知命題P：?x∈R，使x²-x+a=0；命題Q：函數的定義域為R．
（1）若命題P為真，求實數a的取值范圍；
（2）若命題Q為真，求實數a的取值范圍；
（3）如果P∧Q為假，P∨Q為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，△≥0∴
（2）由題意ax²+ax+1＞0恒成立
①a=0，成立；
②a≠0，，得到0＜a＜4
綜上，0≤a＜4
（3）由題意，命題P，Q一真一假
①P真Q假：，得到a＜0
②P假Q真：，得到
綜上，
分析：（1）若命題P為真，說明x²-x+a=0有根，故令△≥0，解不等式求實數a的取值范圍；
（2）若命題Q為真，說明ax²+ax+1＞0恒成立，分a=0與a≠0兩種情況進行討論求解實數a的取值范圍
（3）如果P∧Q為假，P∨Q為真，說明命題P，Q一真一假，需要分兩類求解分別為①P真Q假，②P假Q真
點評：本題考查命題的真假判斷與應用，求解的關鍵是根據題設條件對命題真假進行正確判斷，以及對兩個命題的等價條件的轉化．正確轉化題設條件是快捷正確解題的保證，本題易因為考慮不全導致錯誤，如第一問中，忘記考慮a=0情況．