Question

【題目】已知函數， .

（1）若曲線與在公共點處有相同的切線，求實數的值；

（2）當時，若曲線與在公共點處有相同的切線，求證：點唯一；

（3）若， ，且曲線與總存在公切線，求：正實數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）1.

【解析】試題分析：（1）曲線與在公共點處有相同的切線， ，解出即可；（2）設，由題設得，轉化為關于的方程只有一解，進而構造函數轉化為函數只有一個零點，利用導數即可證明；（3）設曲線在點處的切線方程為，則只需使該切線與相切即可，也即方程組，只有一解即可，所以消去后，問題轉化關于方程總有解，分情況借助導數進行討論即可求得值.

試題解析：（1），．∵曲線與在公共點處有相同的切線∴　，　 解得，．

（2）設，則由題設有 … ①又在點有共同的切線

∴代入①得

設，則，

∴在上單調遞增，所以 ＝0最多只有個實根，

從而，結合（Ⅰ）可知，滿足題設的點只能是

（3）當，時，，，

曲線在點處的切線方程為，即．

由，得 ．

∵ 曲線與總存在公切線，∴ 關于的方程，

即 總有解．

若，則，而，顯然不成立，所以 ．

從而，方程可化為 ．

令，則．

∴ 當時，；當時，，即 在上單調遞減，在上單調遞增．∴在的最小值為，

所以，要使方程有解，只須，即．