Question

已知橢圓短軸的一個端點，離心率．過D作直線l與橢圓交于另一點M，與x軸交于點A（不同于原點O），點M關于x軸的對稱點為N，直線DN交x軸于點B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據題意，短軸的端點坐標，可得b=，又由離心率，則a=2c，代入a²=b²+c²中；解可得a、b的值，即可得答案．
（Ⅱ）設直線l方程為．令y=0，得A的坐標；進而聯立方程組，可得M、N兩點的坐標，進而可得直線DN的方程，即可得B的坐標，進而由數量積的公式，計算可得答案．
解答：解：（Ⅰ）由已知，短軸的一個端點，則b=；
離心率，則a=2c，
又由a²=b²+c²；
解可得．
所以橢圓方程為．
（Ⅱ）設直線l方程為．令y=0，得．
由方程組可得，即．
所以，
所以，．
所以．
直線DN的方程為．
令y=0，得．
所以=．
點評：本題考查直線與橢圓的關系，是一道綜合題；解題時，注意充分利用題干的條件，從中提取有關的信息，起到簡化計算步驟，降低運算量的目的．