Question

在平面直角坐標系xOy中，直線x=t（-4＜t＜4）與橢圓

x2

16

+

y2

9

=1交于兩點P₁（t，y₁）、P₂（t，y₂），且y₁＞0、y₂＜0，A₁、A₂分別為橢圓的左、右頂點，則直線A₁P₂與A₂P₁的交點所在的曲線方程為

x2

16

-

y2

9

=1

．

Answer 1

分析：確定直線A₁P₂的方程、直線A₂P₁的方程，兩式左右分別相乘，利用P₁（t，y₁）、P₂（t，y₂）在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上，化簡即可求得結論．

解答：解：由題意，直線A₁P₂的方程為y=

y2

t+4

(x+4)，直線A₂P₁的方程為y=

y1

t-4

(x-4)，
兩式左右分別相乘得y2=

y1y2

t2-16

(x2-16)①
∵P₁（t，y₁）、P₂（t，y₂）在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上
∴

t2

16

+

y12

9

=1，

t2

16

+

y22

9

=1
∴y12=9(1-

t2

16

)，y22=9(1-

t2

16

)
∵y₁＞0，y₂＜0
∴y₁y₂=9(

t2

16

-1)
代入①可得

x2

16

-

y2

9

=1
故答案為：

x2

16

-

y2

9

=1

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查軌跡方程的求解，考查代入法的運用，屬于中檔題．