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（1）若對于任意的n∈N^，總有 $數學公式$ 成立，求常數A，B的值；
（2）在數列{a_n}中， $數學公式$ ， $數學公式$ （n≥2，n∈N^），求通項a_n；
（3）在（2）題的條件下，設 $數學公式$ ，從數列{b_n}中依次取出第k₁項，第k₂項，…第k_n項，按原來的順序組成新的數列{c_n}，其中 $數學公式$ ，其中k₁=m，k_n+1-k_n=r∈N^*．試問是否存在正整數m，r使 $數學公式$ 且 $數學公式$ 成立？若存在，求正整數m，r的值；不存在，說明理由．

解：（1）由題設得A（n+1）+Bn=n+2即（A+B）n+A=n+2恒成立，
所以 $\text{[math]}$ A=2，B=-1．（4分）
（2）由題設 $\text{[math]}$ （n≥2）又 $\text{[math]}$ 得， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ 是首項為1，公比為2的等比數列，（8分）
所以 $\text{[math]}$ ．即 $\text{[math]}$ 為所求．（9分）
（3）假設存在正整數m，r滿足題設，由（2）知 $\text{[math]}$
顯然 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ 即{c_n}是以 $\text{[math]}$ 為首項， $\text{[math]}$ 為公比的等比數列．（11分）
于是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，（12分）
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，m，r∈N^*，
所以2^m-2^m-r=14或15，（14分）
當2^m-2^m-r=14時，m=4，r=3；
當2^m-2^m-r=15時，m=4，r=4；
綜上，存在正整數m，r滿足題設，m=4，r=3或m=4，r=4．（16分）
分析：（1）由題設得（A+B）n+A=n+2恒成立，所以 $\text{[math]}$ A=2，B=-1．
（2）由 $\text{[math]}$ （n≥2）和 $\text{[math]}$ 知， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，由此能推導出 $\text{[math]}$ ．
（3）假設存在正整數m，r滿足題設，由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．于是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能推導出存在正整數m，r滿足題設，m=4，r=3或m=4，r=4．
點評：本題考查數列中參數的求法、等差數列的通項公式和以極限為載體考查數列性質的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知：數列{a_n}滿足an+1=

4an-2

an+1

，其中n∈N，首項為a₀．
（1）若對于任意的n∈N，數列{a_n}還滿足a_n=p（p為常數），試求a₀的值；
（2）若存在a₀，使數列{a_n}滿足：對任意正整數n，均有a_n＜a_n+1，求a₀的取值范圍．；
（3）若a₀=4，求滿足不等式a_n≤2

的自然數n的集合

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（1）若對于任意的n∈N^*，總有

n+2

n(n+1)

n+1

成立，求常數A，B的值；
（2）在數列{a_n}中，a1=

，an=2an-1+

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n(n+1)

（n≥2，n∈N^*），求通項a_n；
（3）在（2）題的條件下，設bn=

n+1

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，從數列{b_n}中依次取出第k₁項，第k₂項，…第k_n項，按原來的順序組成新的數列{c_n}，其中cn=bkn，其中k₁=m，k_n+1-k_n=r∈N^*．試問是否存在正整數m，r使

lim

n→+∞

(c1+c2+…+cn)=S且

＜S＜

成立？若存在，求正整數m，r的值；不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知{a_n}是遞增數列，其前n項和為S_n，a₁＞1，且10S_n=（2a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項a_n；
（Ⅱ）是否存在m，n，k∈N^*，使得2（a_m+a_n）=a_k成立？若存在，寫出一組符合條件的m，n，k的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設b_n=a_n-

n-3

，c_n=

2(n+3)an

5n-1

，若對于任意的n∈N^*，不等式

31(1+

)(1+

)…(1+

)

cn+1+n-1

≤0恒成立，求正整數m的最大值．

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