Question

已知：數列{a_n}滿足an+1=

4an-2

an+1

，其中n∈N，首項為a₀．
（1）若對于任意的n∈N，數列{ a_n}還滿足a_n=p（p為常數），試求a₀的值；
（2）若a₀=4，求滿足不等式a_n≤2

16

65

的自然數n的集合；
（3）若存在a₀，使數列{ a_n}滿足：對任意正整數n，均有a_n＜a_n+1，求a₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知a_n=a_n+1=a₀=p，由此可知a₀的值為1或2．
（2）由已知，得a_n+1-1=

3(an-1)

an+1

，an+1-2=

2(an-2)

an+1

，a₀=4，由此可以求得自然數n的集合為：{n|n≥3，n∈N}．
（3）解不等式a_n＜a_n+1，得a_n＜

4an-2

an+1

，得a_n＜-1或1＜a_n＜2．要使a₁＜a₂，則a₁＜-1或1＜a₁＜2．然后在分類討論，可以求得a₀∈（1，2）．

解答：解：（1）∴對任意的n∈N，a_n=p（p為常數），
∴a_n=a_n+1=a₀=p，
則

4p-2

p+1

=p，得p²-3p+2=0，
所以p=1或p=2，故a₀的值為1或2．（4分）
（2）由已知，得a_n+1-1=

3(an-1)

an+1

，an+1-2=

2(an-2)

an+1

，
a₀=4，所以由（1）得a_n≠1，2對任意n∈N成立．

由此得 an+1-1 an+1-2 = 3 2 • an-1 an-2 ，進而 an-1 an-2 =( 3 2 )n+1， ∴an= 2( 3 2 )n+1-1 ( 3 2 )n+1-1 . 由an≤2 16 65 ，得 1 ( 3 2 )n+1-1 ≤ 16 65 ，得n≥3.

∴所求的自然數n的集合為：{n|n≥3，n∈N}（8分）
（3）解不等式a_n＜a_n+1，得a_n＜

4an-2

an+1

，得a_n＜-1或1＜a_n＜2．
要使a₁＜a₂，則a₁＜-1或1＜a₁＜2．
（i）當a₁＜-1時，a₂=f（a₁）=4-

6

a1+1

＞4，而a₃=f（a₂）=4-

6

a2+1

＜4＜a₂，明顯不滿足題意，舍去；
（ii）當1＜a₁＜2時，由a₂=4-

6

a1+1

，得1＜a₂＜2，
由a₃=4-

6

a2+1

，和1＜a₃＜2，
…，…，
依此類推，a_n=4-

6

an-1+1

，得1＜a_n＜2，
而1＜a_n＜2時，不等式a_n＜a_n+1成立．
∴數列{a_n}中的所有項均滿足a_n＜a_n+1（n∈N*）．
綜上所述，a₁∈（1，2），由a₁=f（a₀），得a₀∈（1，2）（14分）

點評：本題考查數列性質的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．屬于難題．