Question

已知在△ABC中，C=2A，cosA=

3

4

，且2

BA

•

CB

=-27．
（1）求cosB的值；   
（2）求AC的長度．

Answer 1

分析：（1）由條件 sinC=

3 7

8

，sinA=

7

4

，再由兩角和差的余弦公式、誘導公式求得cosB=-cos（A+C）的值．
（2）由C=2A 利用正弦定理求得c=

3

2

a．再由 2

BA

•

CB

=-27，求得 ac=24，由此可得 AC的長度（即b的值）．

解答：解：（1）∵C=2A，∴cosC=cos2A=2cos2A-1=

1

8

，
∴sinC=

3 7

8

，sinA=

7

4

，
∴cosB=-cos(A+C)=

9

16

．…（6分）
（2）∵C=2A，∴

c

sinC

=

a

sinA

，∴c=

3

2

a． …（8分）
∵2

BA

•

CB

=-27，
∴|

BA

|•|

BC

|=24，即 ac=24．
∴a²=16，c=6，
∴b=5，即 AC的長度為10．…（12分）

點評：本題主要考查兩角和差的正弦、二倍角公式、誘導公式、正弦定理的應用，兩個向量的數量積的定義，屬于中檔題．