Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是動點(diǎn)，且的三邊所在直線的斜率滿足．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若是軌跡上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，且，直線與交于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)，使得和的面積滿足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（且）,（2）

【解析】

試題分析：（1）點(diǎn)的軌跡的方程,就是找出點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系式，而條件中只有點(diǎn)為未知，可直接利用斜率公式化簡,得點(diǎn)的軌跡的方程為，求出軌跡的方程后需結(jié)合變形過程及觀察圖像進(jìn)行去雜，本題中分母不為零是限制條件，（2）本題難點(diǎn)在于對條件的轉(zhuǎn)化，首先條件說明的是，其次條件揭示的是，兩者結(jié)合轉(zhuǎn)化為條件，到此原題就轉(zhuǎn)化為：已知斜率為的過點(diǎn)直線被拋物線截得弦長為，求點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：

（1）設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由得，

，整理得軌跡的方程為（且）． 3分

（2）:學(xué)設(shè)由可知直線，

則，故，即， 5分

直線OP方程為： ①； 直線QA的斜率為：，

∴直線QA方程為：，即 ②

聯(lián)立①②，得，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為定值． 8分

由，得到，因?yàn)?/span>，所以，

由，得，∴的坐標(biāo)為．

∴存在點(diǎn)P滿足，的坐標(biāo)為． 10分

考點(diǎn)：軌跡方程，直線與拋物線位置關(guān)系