Question

已知函數y=sinxcosx-sin²x，
（1）指出函數的對稱軸、對稱中心；
（2）指出函數的單調遞增區間；
（3）函數在[-，-]上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值時的x的值．

Answer 1

【答案】分析：利用二倍角公式，以及兩角和的正弦函數，化簡函數y=sinxcosx-sin²x為：y=sin（2x+）-，
（1）根據正弦函數的對稱軸，對稱中心的橫坐標，求出函數y=sinxcosx-sin²x的對稱軸、對稱中心．
（2）利用正弦函數的單調增區間，求出函數y=sinxcosx-sin²x的單調增區間即可．
（3）根據[-，-]求出2x+的取值范圍，然后求出函數的最大值以及最小值，寫出最值時的x的值．
解答：解：y=sinxcosx-sin²x=sin（2x+）-，
（1）對稱軸：由2x+=kπ+得x=，k∈Z；
對稱中心：由2x+=kπ得x=，
∴函數圖象的對稱中心為（，-）k∈Z．
（2）由2x+∈[2kπ-，2kπ+]得x∈[kπ-，kπ+]，k∈Z，
∴[kπ-，kπ+]，k∈Z．
（3）將2x+視為一個角θ，∵x∈（-，-]
∴θ∈（-π，]，畫函數y=sinθ的草圖，觀察θ∈（-π，]時函數值的范圍為[-1，]，
當且僅當θ=-時sinθ取得最小值-1，θ=時sinθ取得最大值；
即x=-時原函數最小值-2-，x=-時原函數最大值1-．
點評：本題是中檔題，考查利用二倍角和兩角和的正弦函數化簡三角函數，利用基本函數的性質，求解三角函數的性質，是解好數學問題的常用方法．