Question

已知函數f（x）=3^x+1+9^x-12的反函數是f^-1（x）．
（1）求f^-1（6）的值；   
（2）要使f^-1（a）有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求f^-1（6）的值，令3^x+1+9^x_12=6求出相應的x的值，根據原函數與反函數的關系可得結論； 
（2）要使f^-1（a）有意義即使方程 3^x+1+9^x-12=a有解，將a分離出來，求出等式另一側的取值范圍即可，注意到3^x自身的范圍．

解答：解：（1）令3^x+1+9^x_12=6…（4分） 
解得3^x=3或3^x=-6（舍去）
解得x=1…（5分）
即f ^-1（6）=1…（6分）
（2）令 3^x+1+9^x-12=a，…（9分）
即a=(3x+

3

2

)2-

57

4

＞-12注意到（3^x＞0），…（11分）
∴a∈（-12，+∞）時，f^-1（a）有意義．…（13分）

點評：本題主要考查了反函數，以及原函數與反函數的關系，同時考查了指數型復合函數的性質及應用，屬于中檔題．