Question

如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=6，高CD=3，點E是線段BD上異于點B、D的動點，點F在BC邊上，且EF⊥AB，現沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，記BE=x，V（x）表示四棱柱P-ACFE的體積．
（1）求證：面PEF⊥面ACFE；
（2）求V（x）的表達式，并求當x為何值時V（x）取得最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）要證面PEF⊥面ACFE，只需證明面PEF內的直線PE，垂直平面ACEF內的兩條相交直線AE、EF即可；
（2）利用V（x）=V_P-ACB-V_P-BEF求V（x）的表達式，求導數求其極值點，確定x的值，求出V（x）的最大值．
解答：證明：（1）由折起的過程可知，PE⊥EF．又PE⊥AE，AE∩EF=E，
∴PE⊥面ACFE．又PE?面PEF，
∴面PEF⊥面ACFE．
解：（2）由（1）知PE⊥面ACFE，則PE即為四棱錐P-ACFE的高．
而S_△ABC=9，S_△BEF=x•=，
∴V（x）=V_P-ACB-V_P-BEF
=（×6×3-）x
=x•（9-），（0＜x＜3）．
∴V′（x）=×（9-），所以當0＜x＜6時，V′（x）＞0，V（x）單調遞增；
當6＜x＜3時，V′（x）＜0，V（x）單調遞減．因此當x=6時，V（x）取得最大值12．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定，利用導數求函數在閉區間上的最大值問題，考查學生邏輯思維能力，空間想象能力，計算能力，是中檔題．