Question

已知函數f（x）=e^x，g(x)=1+ax+

1

2

x2，a∈R．
（1）設函數F（x）=f（x）-g（x），討論F（x）的極值點的個數；
（2）若-2≤a≤1，求證：對任意的x₁，x₂∈[1，2]，且x₁＜x₂時，都有

g(x2)-g(x1)

f(x2)-f(x1)

＜

a+2

3

．

Answer 1

分析：（1）利用導數判斷，先求函數F（x）的導數，令導數等于0，得到極值點，再判斷極值點兩側導數的正負，若左正右負為極大值，若左負右正為極小值，極值點的個數為極大值的個數加極小值的個數．
（2）欲證

g(x2)-g(x1)

f(x2)-f(x1)

＜

a+2

3

，用分析法，只需尋找成立的充分條件即可，最終找到只需證明G′(x)=

a+2

3

ex-a-x≥0在x∈[1，2]上恒成立，再把

a+2

3

ex-a-x看成關于a的一次函數，當a∈[-2，1]時，兩個端點函數值都大于0，所以當-2≤a≤1時，

a+2

3

ex-a-x≥0恒成立，原命題成立

解答：解：（1）F(x)=ex-1-ax-

1

2

x 2，F'（x）=e^x-a-x，F''（x）=e^x-1，令F''（x）=0，得x=0
當x∈（-∞，0）時，F''（x）＜0，從而F′（x）在（-∞，0上單調遞減，
當x∈（0，+∞）時，F''（x）＞0，從而F′（x）在（0，+∞）上單調遞增，
所以F′（x）_min=F′（0）=1-a，
當F′（x）_min=1-a≥0，即a≤1時，F′（x）≥0恒成立，F（x）的極值點個數為0；
當F′（x）_min=1-a＜0，即a＞1時，（又x→-∞，F′（x）→+∞，x→+∞，F′（x）→+∞）F（x）的極值點個數為2個
（2）證明：

g(x2)-g(x1)

f(x2)-f(x1)

＜

a+2

3

?g(x2)-g(x1)＜

a+2

3

(f(x2)-f(x1))?

a+2

3

f(x1)-g(x1)＜

a+2

3

f(x2)-g(x2)?G(x)=

a+2

3

ex-1-ax-

1

2

x2在[1，2]上單調遞增?G′(x)=

a+2

3

ex-a-x≥0在x∈[1，2]上恒成立
令H(a)=

a+2

3

ex-a-x=(

ex

3

-1)a+

2

3

ex-x(-2≤a≤1)，關于a是一次函數．
又H（-2）=2-x≥0，H（1）=e^x-1-x≥0，（由F'（x）=e^x-a-x≥1-a得）
所以G(x)=

a+2

3

ex-a-x≥0在x∈[1，2]上恒成立，所以，原命題成立．

點評：本題主要考查了利用導數求函數的極值，單調區間，屬于導數的應用．