Question

已知向量

a

=(4cosα ， sinα)，

b

=(sinβ ， 4cosβ)，

c

=(cosβ ， -4sinβ)
（1）若

a

⊥（

b

-2

c

），求tan（α+β）的值；
（2）若

a

∥

b

，求tanαtanβ的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

b

-2

c

=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），進而可得4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，由三角函數的定義即可得結果；（2）由向量平行的充要條件
可得4cosα×4cosβ-sinαsinβ=0，由三角函數的公式可得tanαtanβ=

sinα

cosα

•

sinβ

cosβ

，化簡即可．

解答：解：（1）由題意可得

b

-2

c

=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），
∵

a

⊥(

b

-2

c

)，∴

a

•(

b

-2

c

)=0，
即4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
化簡得：4cosαsinβ+4sinαcosβ-8cosαcosβ+8sinαsinβ=0，
即4sin（α+β）=8cos（α+β），
∴tan（α+β）=

sin(α+β)

cos(α+β)

=2；
（2）由

a

∥

b

可得4cosα×4cosβ-sinαsinβ=0，
即tanαtanβ=

sinα

cosα

•

sinβ

cosβ

=16

點評：本題考查三角函數的運算和向量的平行與垂直，記準公式是解決問題的關鍵，屬中檔題．