Question

已知函數.

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間和極值；

（Ⅱ）若在區間上是單調遞減函數，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）單調遞減區間是 ；單調遞增區間是.極小值是 

（Ⅱ）的最小值為的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞）.

當時，              2分

當變化時，的變化情況如下：

	-	0	+
		極小值

的單調遞減區間是 ；單調遞增區間是.

極小值是                          6分

（Ⅱ）由，得           8分

又函數為上的單調減函數.

則在上恒成立， 所以不等式在上恒成立，

即在上恒成立.                        10分

設，顯然在上為減函數，

所以的最小值為的取值范圍是.       12分

考點：本題主要考查應用導數研究函數的單調性、極值及最值，恒成立問題解法。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。通過研究函數的單調區間、最值情況，得到證明不等式。恒成立問題，往往要轉化成函數最值求法。本題涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。