Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若

S2n

Sn

（n∈N^*）是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{2 bn}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，試判斷數(shù)列{b_n}是否為“和等比數(shù)列”；
（2）若數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為c₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且數(shù)列{c_n}是“和等比數(shù)列”，試探究d與c₁之間的等量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列{2 bn}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得b_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得T_n和T_2n，進(jìn)而可求得

T2n

Tn

=4，判斷出數(shù)列{b_n}為“和等比數(shù)列”；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為R_n，且

R2n

Rn

=k(k≠0)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求得R_n和R_2n，代入

R2n

Rn

=k中，求得d=2c₁．

解答：解：（1）因?yàn)閿?shù)列{2 bn}是首項(xiàng)為2，
公比為4的等比數(shù)列，
所以2 bn=2•4n-1=22n-1，
因此b_n=2n-1．
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，
則T_n=n²，T_2n=4n²，所以

T2n

Tn

=4，
因此數(shù)列{b_n}為“和等比數(shù)列”；

（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為R_n，且

R2n

Rn

=k(k≠0)，
因?yàn)閿?shù)列{c_n}是等差數(shù)列，
所以Rn=nc1+

n(n-1)

2

d，R2n=2nc1+

2n(2n-1)

2

d，
所以

R2n

Rn

=

2nc1+ 2n(2n-1) 2 d

nc1+ n(n-1) 2 d

=k對(duì)于n∈N^*都成立，
化簡得，（k-4）dn+（k-2）（2c₁-d）=0，
則

(k-4)d=0 (k-2)(2c1-d)=0

，因?yàn)閐≠0，所以k=4，d=2c₁，
因此d與c₁之間的等量關(guān)系為d=2c₁．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．在高考中等比數(shù)列常用對(duì)數(shù)函數(shù)、不等式、極限等知識(shí)綜合考查，應(yīng)多注意等比數(shù)列與其他知識(shí)的聯(lián)系．