Question

已知拋物線y²=4x，過點P（4，0）的直線與拋物線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，則y₁²+y₂²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先根據點P設直線方程與拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁x₂=16，進而根據均值不等式y₁²+y₂²=4（x₁+x₂）≥8

x1x2

求得答案．

解答：解：設直線方程為y=k（x-4），與拋物線方程聯立消去y得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0
∴x₁x₂=16
顯然x₁，x₂＞0，又y₁²+y₂²=4（x₁+x₂）≥8

x1x2

=32，
當且僅當x₁=x₂=4時取等號，
故答案為32

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．