Question

拋物線y=x²-2xsinα+1的頂點在橢圓x²+my²=1上，這樣的拋物線有且只有兩條，則m的取值范圍是

（0，1）

．

Answer 1

分析：根據題意求出拋物線的頂點坐標，再代入橢圓的方程，即可得到cos²α=0或cos²α=

1

m

，又因為對應的sinα有2個不同的值，
所以看到cos²α=

1

m

無解，進而得到答案．

解答：解：由題意可得：拋物線y=x²-2xsinα+1的頂點坐標為：（sinα，cos²α），
因為拋物線y=x²-2xsinα+1的頂點在橢圓x²+my²=1上，
所以將頂點代入橢圓方程可得：sin²α+mcos⁴α=1，即mcos⁴α=cos²α，
解得：cos²α=0或cos²α=

1

m

，
因為這樣的拋物線有且只有兩條，
所以對應的sinα有2個不同的值，
所以cos²α=

1

m

無解，即0＜m＜1．
故答案為：（0，1）

點評：本題主要考查圓錐曲線的性質，以及三角函數(shù)的有關性質，此題綜合性較強屬于中檔題．