Question

在平面直角坐標系這個xOy中，橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0，c=

a2-b2

），右焦點為F，直線L：x=

a2

c

，短軸的一個端點為B，設原點到直線BF的距離為d₁，F到L的距離為d₂，若d₂=

6

d₁，則橢圓C的離心率是

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設B（0，b），F（c，0），求出直線BF的方程，運用點到直線的距離公式，得到d₁，d₂，再由條件得到a，b，c的方程，由離心率公式解關于e的方程，即可得到．

解答： 解：設B（0，b），F（c，0），
則直線BF：

x

c

+

y

b

=1，則d₁=

|1|

1 c2 + 1 b2

=

bc

b2+c2

=

bc

a

，
d₂=

a2

c

-c=

a2-c2

c

=

b2

c

，
由于d₂=

6

d₁，則

b2

c

=

6 bc

a

，
即有ab=

6

c²，則a²（a²-c²）=6c⁴，
由于e=

c

a

，則有6e⁴+e²-1=0，
解得，e²=

1

3

，即e=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查點到直線的距離公式的運用，考查離心率的求法，屬于中檔題．