Question

設(shè)數(shù)列滿足：，，．
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；
（Ⅱ）已知是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，且，.求的通項(xiàng)公式，并證明：．

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ），證明詳見解析．

解析試題分析：（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和，由已知，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式可得；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式，由是等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，且，，可設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件，求出公差的值，從而得到；證明：，由，分母是等差數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)積，像這類數(shù)列，求其前項(xiàng)和，常常采用拆項(xiàng)相消法，即，從而解出．
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ec/5/1mflb3.png" style="vertical-align:middle;" />，又，所以，因此是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以，；
（Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，，所以，即，故. 由此得，. 所以， .因此所證不等式成立.                        
考點(diǎn)：等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，拆項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和，考查學(xué)生的運(yùn)算能力以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.