Question

設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?sub>，記內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)為.

（1）求的值及的表達(dá)式；

（2）記，試比較的大小；若對(duì)于一切的正整數(shù)，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，其中，問是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出正整數(shù)；若不存在，說明理由.

Answer 1

（本小題主要考查數(shù)列、不等式等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)）

解：⑴            -----------------2分

當(dāng)時(shí)，

取值為1，2，3，…，共有個(gè)格點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，

取值為1，2，3，…，共有個(gè)格點(diǎn)

∴               -----------------4分

⑵

   -------------5分

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

                ------------------6分

∴時(shí)，

時(shí)，

時(shí)，

∴中的最大值為.        ------------------8分

要使對(duì)于一切的正整數(shù)恒成立，

只需

∴ -------------------9分

⑶

.             ---------------10分

將代入，

化簡(jiǎn)得，（﹡）-------------------11分

若時(shí) ，

，

顯然-------------------12分

若時(shí) 

（﹡）式化簡(jiǎn)為

不可能成立 --------------13分

綜上，

存在正整數(shù)

使成立.                - --------------14分