Question

設向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(cosx，cosx)，x∈R，函數f(x)=

a

•(

a

+

b

)．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅲ）求函數f（x）在x∈[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為

3

2

+

2

2

cos（2x+

π

4

），由此求得它的周期．
（Ⅱ）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可求得函數的單調增區間．
（Ⅲ）由于x∈[-

π

4

，

π

4

]，故2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，結合函數圖象可得函數的最小值和函數的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得 函數f（x）=

a

•(

a

+

b

)=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）=sinx（sinx+cosx ）+2cos²x=1+

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

=

3

2

+

2

2

cos（2x+

π

4

），
故函數的周期等于

2π

2

=π．
（Ⅱ）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，故函數的單調增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈z．
（Ⅲ）由于x∈[-

π

4

，

π

4

]，故2x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，故當2x+

π

4

=-

π

4

時，函數取得最小值為1，當 2x+

π

4

=

π

2

時，函數取得最大值為

3+ 2

2

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，求復合三角函數的增區間，屬于中檔題．