Question

設向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(cosx，cosx)，x∈R，函數f(x)=

a

•(

a

+

b

)．
（Ⅰ）求f（x）最大值和此時相應的x的值；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥

3

2

成立的x的取值集合．

Answer 1

分析：由向量的數量積的坐標表示及二倍角公式、輔助角公式可得f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

（I）當2x+

π

4

=

1

2

π+2kπ函數有最大值，可求
（II）由f(x)≥

3

2

可得

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)≥

3

2

即sin（2x+

π

4

）≥0，結合正弦函數的性質可求

解答：解：∵f(x)=

a

•(

a

+

b

)=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）
=sin²x+sinxcosx+2cos²x=1+

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

=

3

2

+

1

2

(sin2x+cos2x)
∴f(x)=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

（I）當2x+

π

4

=

1

2

π+2kπ即當x=

π

8

+kπ，k∈Z時，f（x）取最大值

3+ 2

2

（II）由f(x)≥

3

2

可得

3

2

+

2

2

sin(2x+

π

4

)≥

3

2

∴sin（2x+

π

4

）≥0
∴2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π
∴kπ-

π

8

≤ x≤kπ+

3π

8

，k∈Z
∴不等式的解集是{x|kπ-

π

8

≤ x≤kπ+

3π

8

，k∈Z}

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，向量的數量積的應用，三角函數的最值的求法，考查計算能力．