Question

（2012•淮南二模）動點P（x，y）滿足的區域為：

x-y+1≥0 x+y-5≥0 2x-y-4≤0

，若冪函數f（x）=x^a，（a為常數）的圖象與動點P所在的區域有公共點，則a的取值范圍是（　　）

A．[log₂3，+∞]

B．[log₃2，log₂3]

C．[log₃2，+∞）

D．（-∞，log₃2]∪[log₂3，+∞）

Answer 1

分析：本題需要作出題中不等式組所表示的平面區域，得如圖的△ABC及其內部．分別在a＜0和a＞0時，對函數y=x^a的單調性加以討論，結合冪函數的特性加以推理，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：作出不等式組

x-y+1≥0 x+y-5≥0 2x-y-4≤0

表示的區域，
為如圖的△ABC及其內部，其中A（2，3），B（3，2），C（5，6）
當a＞0時，函數圖象經過點B（3，2）時，表達式為3^a=2，解得，a=log₃2
在此基礎上讓a值變大時，圖象在第一象限的圖象變得陡峭，但不能超越了點A，
函數圖象經過點A（2，3）時，表達式為2^a=3，解得，a=log₂3，故a∈[log₃2，log₂3]，
當a＜0時，由于函數圖象始終經過點（1，1），函數圖象不會和該區域有公共點．
由以上的討論，可得a∈[log₃2，log₂3]
故選B

點評：本題為冪函數的圖象經過不等式組表示的平面區域為例，討論參數a的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和冪函數的基本性質等知識，屬于中檔題．