Question

已知函數y=f（x）（x∈R）滿足f（a+x）=f（a-x）（a≠0）
（1）求證：y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱．
（2）又若函數y=f（x）的圖象在于直線x=b（b≠a）對稱，證明函數y=f（x）是周期函數．

Answer 1

【答案】分析：（1）設y=f（x）上任一點P（x，f（x））得到關于x=a的對稱點P’（2a-x，f（x）），根據f（a+x）=f（a-x）驗證f（2a-x）=f（x）即可．
（2）根據函數f（x）的圖象關于直線x=a、x=b（b≠a）對稱，得到f（2a-x）=f（2b-x），然后設y=2b-x，那么f（y）=f[y+2（a-b）]可得答案．
解答：（1）證明：設P（x，f（x））是y=f（x）上任一點，其關于x=a的對稱點P’應為（2a-x，f（x））．
∵f（a+x）=f（a-x），∴f（2a-x）=f[a+（a-x）]=f[a-（a-x）]=f（x），
故P’坐標為（2a-x，f（2a-x））顯然在y=f（x）圖象上．
由點P的任意性知道y=f（x）關于x=a對稱
證畢！
（2）∵函數y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱∴f（x）=f（2a-x）
∵函數y=f（x）的圖象關于直線x=b對稱∴f（x）=f（2b-x）
∴f（2a-x）=f（2b-x）
設y=2b-x，那么f（y）=f[y+2（a-b）]
由于y是任意的所以f（x）是以2（a-b）為周期的周期函數．
點評：本題主要考查函數的性質--對稱性的應用．函數的性質包括定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性、周期性，研究函數一般就從這幾個方面入手．