Question

數列{a_n}滿足S_n=2n-a_n，n∈N⁺．（S_n為前n項和）
（1）計算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n；（2）用數學歸納法證明（1）中的結論．

Answer 1

分析：（1）由題意S_n=2S_n=2n-a_n，令n=1因為s₁=a₁，可求出a₁的值，再反復代入S_n=2n-a_n，分別求出a₂，a₃，a₄，總結出規(guī)律；
（2）根據（1）的猜想，利用歸納法進行證明，假設n=k成立，然后利用已知條件驗證n=k+1是否成立，從而求證．

解答：解：（1）a₁=s₁=2-a₁，∴a₁=1，
s₂=a₁+a₂=2×2-a₂，
∴a₂=

3

2

，s₃=a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，
∴a₃=

7

4

，
s₄-s₃=a₄，
∴2×4-a₄-a₃=a₄，a₄=

15

8

，
猜想a_n=2-

1

2n-1

（n∈N⁺）．
（2）證明：①當n=1時，a₁=2-

1

21-1

=1-1=1，猜想結論成立．
②假設當n=k（k≥1）時結論成立，即a_k=2-

1

2k-1

．
當n=k+1時a_k+1=s_k+1-s_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k，
2a_k+1=2+a_k，a_k+1=1+

ak

2

=1+1-

1

2k

=2-

1

2(k+1)-1

．
所以當n=k+1時，猜想結論成立．
由（1）和（2）可知，對一切n（n∈N⁺）結論成立．

點評：此題主要考查數列的遞推公式和利用數學歸納法進行證明，歸納法是高考中常考的方法，幾乎每年都考，對此學生要引起注意，多加練習．