Question

已知動圓M與直線x=-2相切，且與定圓C：（x-3）²+y²=1外切．
（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡方程；
（Ⅱ）若正△OAB的三個頂點都在點M的軌跡上（O為坐標原點），求該正三角形的邊長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）動圓M與直線x=-2相切，且與定圓C：（x-3）²+y²=1，可以看到動圓的圓心M到C（3，0）的距離與到直線x=-3的距離相等，由拋物線的定義知，點M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程；
（Ⅱ）正△OAB的三個頂點都在點M的軌跡上（O為坐標原點），此正三角形必有一個頂點是拋物線的頂點，另兩個頂點的連線垂直于拋物線的對稱軸，由此易得過原點的兩邊所在直線y=y=±

3?

3

x，與點M的軌跡方程聯立，解出交點的坐標，即可求得正三角形的邊長．

解答：解：（Ⅰ）由題意動圓M與直線x=-2相切，且與定圓C：（x-3）²+y²=1外切
∴動點M到C（3，0）的距離與到直線x=-3的距離相等
由拋物線的定義知，點M的軌跡是以C（3，0）為焦點直線x=-3為準線的拋物線
故所求M的軌跡方程為y²=12x
（Ⅱ）由題意此正三角形必有一個頂點是拋物線的頂點，另兩個頂點的連線垂直于拋物線的對稱軸，可設過原點的兩邊所在的直線方程為y=±

3?

3

x，
∴

y2=12x y= 3 3 x

?yA=12

3

∴正△OAB的邊長AB=2yA=24

3

點評：本題考查軌跡方程，熟記拋物線的定義是求解本題的關鍵，由定義法求軌跡的方程是近幾年高考的熱點，要注意掌握高中數學中所學的幾個重要定義，如圓錐曲線的定義，圓的定義等，第二小問的求解，關鍵是理解拋物線的對稱性，從而得出此正三角的位置特征，借助這一特征求出正三角的面積