Question

已知動圓M與直線x=-2相切，且與定圓C：（x-3）²+y²=1外切．
（Ⅰ）求動圓圓心Mx軌跡方程；
（Ⅱ）若正△OABx三個頂點都在點Mx軌跡上（O為坐標原點），求該正三角形x邊長．

Answer 1

（Ⅰ）由題意動圓M與直線x=-2相切，且與定圓C：（x-3）²+u²=1外切
∴動點M到C（3，0）的距離與到直線x=-3的距離相等
由拋物線的定義知，點M的軌跡是以C（3，0）為焦點直線x=-3為準線的拋物線
故所求M的軌跡方程為u²=12x
（Ⅱ）由題意此正三角形必有一個頂點是拋物線的頂點，另兩個頂點的連線垂直于拋物線的對稱軸，可設過原點的兩邊所在的直線方程為u=±

3?

3

x，
∴

u2=12x u= 3 3 x

?uA=12

3

∴正△二AB的邊長AB=2uA=24

3