Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，短軸兩個端點為A、B，且四邊形F₁AF₂B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．證明：為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知a=2，b=c，b²=2，由此可知橢圓方程為．
（2）設M（2，y），P（x₁，y₁），，直線CM：，代入橢圓方程x²+2y²=4，得，然后利用根與系數的關系能夠推導出為定值．
（3）設存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）滿足條件．
解答：解：（1）a=2，b=c，a²=b²+c²，∴b²=2；
∴橢圓方程為（4分）
（2）C（-2，0），D（2，0），設M（2，y），P（x₁，y₁），

直線CM：，代入橢圓方程x²+2y²=4，
得（6分）
∵，∴（8分）
∴（定值）（10分）
（3）設存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP（11分）
（12分）
則由，從而得m=0
∴存在Q（0，0）滿足條件（14分）
點評：本題考查直線和橢圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．