【題目】設函數
．
（1）若函數
在
上不單調，求實數a的取值范圍；
（2）求函數在
的最小值．
【答案】（1）
（2）
．
【解析】
(1)分
與
兩種情況將
寫成分段函數的形式,再根據對稱軸與區間
的位置關系討論即可
(2)先分
,
兩種情況討論,再根據兩個二次函數的對稱軸再對
進行討論分析最小值的取值情況.
(1)由
化為
則二次函數
對稱軸為
.
對稱軸為
則當
時, 若函數在上不單調則對稱軸在之間,
即
,因為故化簡得
,即
當
時, 
滿足題意.
當時, 若函數在上不單調則對稱軸在之間,
即
,因為故
綜上所述,
(2) 由(1) ,
對稱軸為.
對稱軸為
1.當時,
當
,即
時,
在
上單調遞增,
此時
當
即
時, 在
的對稱軸處取得最小值,
此時
2.當時,
當
,即
時,在上單調遞增,
此時
當
,即
時, 在
的對稱軸
處取得最小值,
此時
綜上所述,
習題精選系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三有500名學生，在一次考試的英語成績服從正態分布
，數學成績的頻率分布直方圖如下：
（Ⅰ）如果成績大于135的為特別優秀，則本次考試英語、數學特別優秀的大約各多少人？
（Ⅱ）試問本次考試英語和數學的成績哪個較高，并說明理由.
（Ⅲ）如果英語和數學兩科都特別優秀的共有6人，從（Ⅰ）中的這些同學中隨機抽取3人，設三人中兩科都特別優秀的有
人，求的分布列和數學期望。
參考公式及數據：
若
，則
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，以原點
為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線
的極坐標方程為
，
為曲線上的動點，與軸、
軸的正半軸分別交于
，
兩點.
（1）求線段
中點
的軌跡的參數方程；
（2）若
是（1）中點的軌跡上的動點，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
和
都是定義在集合
上的函數，對于任意的
，都有
成立，稱函數與在上互為“互換函數”．
（1）函數
與
在上互為“互換函數”，求集合；
（2）若函數
（
且
）與
在集合上互為“互換函數”，求證：
；
（3）函數
與在集合
且
上互為“互換函數”，當
時,
，且在
上是偶函數,求函數在集合上的解析式．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，在△
中，
，
分別為
，
的中點，
為
的中點，
，
．將△
沿折起到△
的位置，使得平面
平面
，如圖2．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求直線
和平面
所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段上是否存在點
，使得直線
和
所成角的余弦值為
？若存在，求出
的值；若不存在，說明理由．
圖1 圖2
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業生產
、
兩種產品，生產每
產品所需的勞動力和煤、電消耗如下表：
產品品種 | 勞動力（個） | 煤 | 電 |
|
|
|
|
|
|
|
|
已知生產
產品的利潤是
萬元，生產
產品的利潤是
萬元.現因條件限制，企業僅有勞動力
個，煤
，并且供電局只能供電
，則企業生產、兩種產品各多少噸，才能獲得最大利潤？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設a,b,c分別是
的三條邊,且
.我們知道,如果為直角三角形,那么
(勾股定理).反過來,如果,那么為直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,為直角三角形的充要條件是.請利用邊長a,b,c分別給出為銳角三角形和鈍角三角形的一個充要條件,并證明.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=2sin2（x+
）-2
cos（x-）-5a+2．
（1）設t=sinx+cosx，將函數f（x）表示為關于t的函數g（t），求g（t）的解析式；
（2）對任意x∈[0，
]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范圍．
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