Question

在如圖所示的空間幾何體中，平面平面
=,和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上.

（I）求證：平面
（II）求二面角的余弦值

Answer 1

（I）見解析     (II)二面角的余弦值為

(1)證線面平行的關(guān)鍵是證線線平行，取的中點作平面交平面于點根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理和等邊三角形的性質(zhì)證出即證出平面
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的一個法向量，把二面角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩個法向量的夾角的余弦值求解，注意二面角是銳角還是鈍角
解：（I）由題意知，都是邊長為2的等邊三角形，取的中點連接，則

平面平面平面作平面交平面于點
而點落在上，
四邊形是平行四邊形，平面……………………6分
(II)依題意，建立如圖空間坐標(biāo)系

則，求得平面的一個法向量
設(shè)平面的一個法向量為，

二面角的余弦值為