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已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),P為橢圓上一點(diǎn),且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項(xiàng).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)求△PF1F2面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
分析:(Ⅰ)根據(jù)橢圓和數(shù)列的基本性質(zhì)以及題中已知條件便可求出a和b值,進(jìn)而求得橢圓方程;(Ⅱ)先表達(dá)出△PF1F2面積,再結(jié)合圖形求面積的最大值.
解答:解:(Ⅰ)由題設(shè)|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4(2分)∴2a=4,2c=2,∴b=
3
(4分)
∴橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
.(6分)
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)△PF1F2面積S=
1
2
|F1F2|•|y|
=
1
2
×2c×|y|=
1
2
×2|y|
=|y|(8分)
所以當(dāng)|y|取最大值時(shí),△PF1F2面積的面積最大,所以點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)|y|取最大值(10分)
此時(shí)y=±
3
,即P(0,±
3
),△PF1F2面積的最大值S=
3
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解利用了橢圓的定義,關(guān)鍵是求出其基本量,求面積的最大值,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)到y(tǒng)軸距離最大問題,則利用了圖形可以解決,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合得數(shù)學(xué)思想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

3、已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果延長(zhǎng)F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

7、已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)F2向∠F1PF2的外角平分線作垂線,垂足為M,則點(diǎn)M的軌跡是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0,-1)和F2(0,1),離心率e=
12

(I)求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P在此橢圓上,且有|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓的焦點(diǎn)是F1,F(xiàn)2,P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果延長(zhǎng)F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是(  )
A、橢圓B、雙曲線的一支C、拋物線D、圓

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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