Question

已知f(

1

2

log

1

2

x)=

x-1

x+1

．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性并證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要判斷函數f（x）的奇偶性，首先根據題目給出的條件利用換元法解出f（x），然后運用函數奇偶性的定義判斷；
（Ⅱ）在（Ⅰ）求出的f（x）的基礎上，直接借助于函數增減性的定義證明．

解答：解：（Ⅰ）令t=

1

2

log

1

2

x，所以x=(

1

2

)2t，所以有f（t）=

( 1 2 )2t-1

( 1 2 )2t+1

=

1-4t

1+4t

所以f（x）=

1-4x

1+4x

．此函數的定義域為R，因為f（-x）=

1-4-x

1+4-x

=

1- 1 4x

1+ 1 4x

=

4x-1

1+4x

=-

1-4x

1+4x

=-f(x)
所以函數f（x）為定義域上的奇函數．
（Ⅱ）函數f（x）為實數集上的減函數．
證明：設x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

1-4x1

1+4x1

-

1-4x2

1+4x2

=

(1-4x1)(1+4x2)-(1-4x2)(1+4x1)

(1+4x1)(1+4x2)

=

2(4x2-4x1)

(1+4x1)(1+4x2)

．因為x₁＜x₂，所以4x2-4x1＞0，所以

2(4x2-4x1)

(1+4x1)(1+4x2)

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），所以函數f（x）為實數集上的減函數．

點評：本題考查了對數的運算性質，函數的單調性、奇偶性的判斷與證明，考查了換元法求解函數解析式，考查了學生的運算能力，是常見題型．