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已知函數f(x)=alnx-(1+a)x+
12
x2,a∈R

(1)當0<a<1時,求函數f(x)的單調區間;
(2)已知f(x)≥0對定義域內的任意x恒成立,求實數a的范圍.
分析:(1)求出函數定義域,在定義域內解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可;
(2)f(x)≥0對定義域內的任意x恒成立,等價于f(x)min≥0,分a>0,a≤0兩種情況求f(x)的最小值即可,用導數易求函數的最小值;
解答:解:(1)f(x)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=
a
x
+x-(1+a)=
x2-(1+a)x+a
x
=
(x-1)(x-a)
x

當0<a<1時,f′(x)、f(x)的變化情況如下表:
x (0,a) a (a,1) 1 (1,+∝)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
所以函數f(x)的單調遞增區間是(0,a),(1,+∞),單調遞減區間是(a,1);
(2)由于f(1)=-
1
2
-a
,顯然a>0時,f(1)<0,此時f(x)≥0對定義域內的任意x不是恒成立的;
當a≤0時,易得函數f(x)在區間(0,+∞)的極小值、也是最小值即是f(1)=-
1
2
-a
,此時只要f(1)≥0即可,解得a≤-
1
2

∴實數a的取值范圍是(-∞,-
1
2
).
點評:本題考查利用導數研究函數的單調性、求函數在閉區間上的最值問題,考查恒成立問題,恒成立問題常常轉化為求函數的最值處理.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
12x+1

(1)求證:不論a為何實數f(x)總是為增函數;
(2)確定a的值,使f(x)為奇函數;
(3)當f(x)為奇函數時,求f(x)的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)
a-x  ,x≤0
1  ,0<x≤3
(x-5)2-a,x>3
(a>0且a≠1)圖象經過點Q(8,6).
(1)求a的值,并在直線坐標系中畫出函數f(x)的大致圖象;
(2)求函數f(t)-9的零點;
(3)設q(t)=f(t+1)-f(t)(t∈R),求函數q(t)的單調遞增區間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)為奇函數,則a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
(I)求函數f(x)的單調區間;
(II)若直線x-y-1=0是曲線y=f(x)的切線,求實數a的值;
(III)設g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在區間[1,e]上的最小值.(其中e為自然對數的底數)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數,求a的值;
(3)考察f(x)在定義域上單調性的情況,并證明你的結論.

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同步練習冊答案
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