Question

已知函數f(x)=alnx-(1+a)x+

1

2

x2，a∈R
（1）當0＜a＜1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）已知f（x）≥0對定義域內的任意x恒成立，求實數a的范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數定義域，在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）f（x）≥0對定義域內的任意x恒成立，等價于f（x）_min≥0，分a＞0，a≤0兩種情況求f（x）的最小值即可，用導數易求函數的最小值；

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=

a

x

+x-(1+a)=

x2-(1+a)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，
當0＜a＜1時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∝）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以函數f（x）的單調遞增區間是（0，a），（1，+∞），單調遞減區間是（a，1）；
（2）由于f(1)=-

1

2

-a，顯然a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內的任意x不是恒成立的；
當a≤0時，易得函數f（x）在區間（0，+∞）的極小值、也是最小值即是f(1)=-

1

2

-a，此時只要f（1）≥0即可，解得a≤-

1

2

，
∴實數a的取值范圍是（-∞，-

1

2

）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、求函數在閉區間上的最值問題，考查恒成立問題，恒成立問題常常轉化為求函數的最值處理．