Question

（2013•濟南一模）在△ABC中，邊a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且滿足bcosC=（3a-c）cosB．
（1）求cosB；
（2）若

BC

•

BA

=4，b=4

2

，求邊a，c的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把題設等式中的邊換成角的正弦，進而利用兩角和公式化簡整理求得cosB的值．
（2）由

BC

•

BA

=4 可得 ac=12，再由余弦定理可得 a²+c²=40，由此求得邊a，c的值．

解答：解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，
∴3sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，化為：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．
∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=

1

3

．
（2）由

BC

•

BA

=4，b=4

2

，可得，a•c•cosB=4，即 ac=12．…①．
再由余弦定理可得 b²=32=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-

2ac

3

，即 a²+c²=40，…②．
由①②求得a=2，c=6； 或者a=6，c=2．
綜上可得，

a=2 b=6

，或

a=6 b=2

．

點評：本題以三角形為載體，主要考查了正弦定理、余弦定理的運用，考查兩角和公式．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．